梦在脚下

李尚志

北京航空航天大学数学与系统科学学院

北京,100191

 

敢问路在何方,路在脚下。

只要你愿意，让梦划向你心海。

一、坚守四十年

我是一名教师。

自从1970年7月从中国科学技术大学数学系本科毕业参加工作,我就开始当教师,当时是在四川省万源县沙滩公社小学当教师。1978年考上中国科学技术大 学研究生,1981年12月研究生毕业留校工作成为一名大学教师,并在1982年5月成为我国自己培养的首批博士之一。2004年到北京航空航天大学,继 续当教师直到现在。从1970年到现在,已经当了43年教师。

2011年,中华全国总工会主办的网站“中工会客厅”为我制作了一个专访节目。主持人问我的第一个问题是: “是什么力量让你坚守教育战线41年? ”正式制作节目之前的模拟问答中就问了这个问题。我笑着用了一句真话回答：“教育战线41年都没有让我下岗,因此我就坚守下来了。”正式录制节目的时候我用另一句真话作答:“第一,人民需要. 第二, 我也喜欢。”

为什么我喜欢当教师? 是不是我从小就梦想当教师,终于如愿以偿实现了这个梦想,所以喜欢?

不是！我从小的梦想不是当教师,而是当数学家。当数学家的梦想破灭了,才当上教师。

二、梦想与破灭

我从小就充满对大自然奥秘的好奇心。到了小学高年级，读了一些科普读物和科幻小说，就特别崇拜科学家和发明家，崇拜小说中善于利用科学知识来创造奇迹的英 雄们。进了中学,系统地学习了数理化，在崇拜阿基米德、牛顿、爱因斯坦这些科学家的同时,脑子里不禁产生疑问：为什么这些科学家都是外国的而不是中国的? 后来看见一些小册子介绍华罗庚钱学森冲破重重阻力回国效力的故事，就特别崇拜我国自己的这些科学家，萌生了自己以后成为科学家的梦想。不过,那时的梦想停 留在梦一梦、想一想而已，怎么实现，还是遥不可及的事情，不值得去想。进了高中，参加学校的数学竞赛获得优胜,奖品是华罗庚吴文俊等数学家为中学生写的小 册子,读了之后大有收益,很羡慕那些在北京读书的中学生能够亲耳听到数学家们的讲座。

高中毕业报考大学,看见中国科学技术大学的招生广告上有一张照片，是华罗庚在中国科学技术大学为本科生上课，课间与学生们一起讨论问题。不由得想：我从小 学到中学都在班上名列前茅,如果能够考入中国科学技术大学读书,成为华罗庚的学生,并且也在班上名列前茅,被华罗庚看上,当数学家的理想不就能实现了吗? 我突然就感到,成为数学家不再是一个遥不可及的梦想，而是可以一步步前进达到的目标。要达到这个目标,首先要做两件事: 一是考入中国科学技术大学成为华罗庚的学生,二是在班上名列前茅。做到这两件事,就在实现梦想的路上迈进了一大步。

我做到了。第一步,我在1965年考进了中国科学技术大学数学系。虽然我进校之后已经不是由华罗庚亲自上课, 但上课的老师都是华罗庚调教出来的优秀学生，讲课都有独特的风格，不是以“奉天承运皇帝诏曰”的方式强行灌输，而是各自讲出自己的想法引导学生将所学知识 发明出来。进校后我也确实听过华罗庚讲课，领教了伟大的数学家怎样深入浅出讲解科学知识的风采。我才明白，我能读懂华罗庚的小册子不说明我的水平有多高, 而说明华罗庚的教学水平实在高,能够让水平不太高的普通老百姓读懂他的书,听懂他的课。

我们班上一共30名学生。当时的考试采用5记分制,在第一学年仅有的两次考试中只有6名同学两次都是5分，而我是其中之一，因此也可以算是名列前茅。我的第二步计划似乎也实现了。

然而，人算不如天算。进校后念书不到一年,两门最重要的基础课数学分析和线性代数都还没有念完,1966年5月就开始了文化大革命。大学不再上课。每个人 唯一合法的工作是批判别人和被别人批判，上至国家主席下至平民百姓都不能幸免。华罗庚也受到批判。虽然在周恩来总理亲自保护下免受进一步的冲击,但我想要 跟他当数学家的幼稚梦想却是彻底破灭了。在动乱中折腾了4年，中国科学技术大学被赶到安徽,我们随数学系到了铜陵。又经过大半年的七斗八斗,我们在大学的 “学习”期满，毕业分配,我自愿回到家乡四川省，被分配到离家千里之外的达县专区报道再分配。负责再分配的人问我有什么要求。我提的唯一要求是不当教师。 理由是: 我笨嘴拙舌不善言辞，不适合于当教师。心中还有一个潜在的理由没有说出来：教师是资产阶级,我为什么还要去壮大资产阶级的队伍呢，应当去当工人壮大工人阶 级队伍。负责分配的人发现我确实笨嘴拙舌，傻乎乎的也不知道要求留在专区所在地达县(即使要求了也未必能够留下），大笔一挥把我分配到更偏远的万源县，离 陕西只有20多里，离我家乡内江市却有1500里。我跋山涉水到万源去报到，文教局把我分配到更偏僻的沙滩公社小学去当教师。万源县文教局负责分配的人刚 在文教局办公室向我宣布分配结果，公社小学就打电话来, 说你们答应派一个老师来教附设初中班,怎么还没有来? 接电话的回答：“我们已经派了一位李老师到你们那里,很快就会来报到。”这是我这辈子第一次被人叫做“李老师”,听了之后心如刀割。梦想当数学家,却当了 “李老师”。哪怕在家乡内江当李老师也好一点吧？却要在1500里之外举目无亲交通不便的深山老林里当“李老师”，而且很可能一辈子当下去。这是我人生道 路上遭受的最大打击。今后的路怎么办，走向何方？我不知道。我只知道自己没有别的选择，只能硬着头皮一步一步走下去。

三、青春无价

当时，从万源县城到沙滩公社虽然通了公路,却没有开通客运班车。我坐了20公里的客运汽车，又徒步翻山越岭走了2小时，来到公社小学报到。在山沟里走着, 快到目的地了,一个小孩迎面走过来问我:“李老师,你什么时候给我们上课？我们班上的同学都盼望着你来给我们上课呢。”我在这深山老林里举目无亲，怎么会 有人来向我打招呼呢？不由得感到意外。很快我就明白，这是我将要上课的那一班的学生。这是我第二次听见有人喊我“李老师”，听起来的感受却与第一次完全不 同。他如此渴望我给他们上课，这分明是对知识的渴望。在那个年代，知识和知识分子被批倒批臭，“知识越多越反动”的口号甚嚣尘上，他为什么还要渴望我教他 们知识?我从华罗庚亲自执教的名牌大学学了知识却只能到深山老林去教公社小学，他们学了又有什么用处？然而，我又不忍心向他们说学了知识没有用处，不忍心 向他们幼稚纯真的心灵泼冷水脏水。反过来，我不由得为他们的幼稚和纯真所感动，感到无比温暖。

有一个流行的说法是，人生有四大幸事：“洞方花烛夜,金榜题名时,久旱逢甘露,他乡遇故知。”1970年7月是我离开学校走上社会的开端，短短一个月中从 名牌大学的“庙堂之高”一贬再贬，贬到专区再到县再到公社，受够了那些决定我命运的人趾高气扬的白眼,一颗心已经冰凉得失去了知觉。惟有这个小孩的一声 “李老师”给我送来了温暖。不算是“久旱逢甘露”，也是“旱极逢甘露”。不是“他乡遇故知”，也是“他乡遇粉丝”。看着他充满了稚气的眼神，我不由得产生 幻觉,也许他是上帝怕我沉伦而派来拯救我的灵魂的天使。我后来问他为什么要到路上来迎接我。他说是班上的同学派的。也许他只是在简单地执行一次公务,但在 那个特定的年代特定的时刻给我带来的影响却持续了几十年一直到现在,永不磨灭。从那一个时刻开始,不论我心情多么苦闷，环境多么艰难,只要一站在讲台前, 望着学生们那洋溢着幼稚和纯真的眼神，就象着了魔那样沉醉在范仲淹的《岳阳楼记》描述的“宠辱皆忘，把酒临风,其喜洋洋者矣”的境界中。

我现在到处讲课，给人留下的印象都是口似悬河，滔滔不绝。所以，每当我讲到自己曾经笨嘴拙舌的时候，人们都不相信，认为我是故意谦虚。不过,我在小学中学 大学的老师和同学却都知道，我虽然学习成绩很好，口才却很糟糕，是一个很典型的性格内向的学生,用“笨嘴拙舌”来描述一点也不过分。小学老师曾经想培养我 的口才，安排我到全校大会上发言。我拿着预先写好的稿子走上讲台，也不知道自己是怎样用多快的速度念完的,一溜烟逃下了讲台。老师只好苦笑着摇头。大学的 一次课,一个线性代数题目很多同学不会做,我做出了,老师让我上台去讲。我背对听众将题目解答写在黑板，一句话没有讲就下来了。有一句话“茶壶里装汤元” 来为笨嘴拙舌的人挽回一点面子，说他们肚子里有学问，只不过不善于表达。这样的“茶壶”可以当数学家,只要能研究出成果,讲不好也没有关系。但当教师可不 行，讲不出来就是不称职。所以，我也下决心将茶壶里的汤元倒出来。不过,我很困惑的是：书本上短短两三页纸的内容怎么能够讲出45分钟来? 如果照着念，念十遍也到不了45分钟。第一节课，搜肠刮肚讲了25分钟就再也找不出什么话来讲。问学生懂不懂,他们既不点头也不摇头。我教的是附设初中 班。出了题目来问，却发现大部分同学计算小学分数加法1/2+1/3都等于2/5，只会把分子分母分别相加而不会通分。这时我才知道，每堂课45分钟不是 太多而是太少,我总不能从小学分数加法开始一直讲到初中吧？这不能怪学生,那个年代的学习状况就是这样，小学都是混过来的,山区的孩子的基础就更差一些, 怎么可能为初中打下必备的基础呢？

有一件事却启发我找到了解决问题的出路。文化大革命期间,政治活动很多，学校办墙报经常需要画五角星。学校的老师和学生发现我画五角星的本领比他们强。他 们画的五角星都是歪的，左右不对称。即使有的人做到了左右对称，将他们画的五角星剪下来，转了一个角度将另一个角朝上,又不对称了。他们发现我画的五角星 不论怎样旋转都是端正的,赞扬说:“北京来的大学生真厉害，画的五角星都比我们端正。”这启发我在课堂上教学生画五角星。先教他们用圆规画圆。大部分同学 家中没钱买圆规,还需要先教他们用螺丝钉和木片做圆规。再用360度除以5得到72度,利用量角器画圆心角72度,将圆周五等分,再将5个分点连接起来就 得到了标准的五角星。当同学们都会自己画出端正的五角星的时候，他们发现自己也达到了“北京来的大学生”的水平，感到震撼和骄傲。用圆规画圆,量角器画 角,本来就是初中教材上必学的内容。但是，以“画五角星”这个任务为线索将这些内容组织起来，容易引起学生的兴趣，让他们感受到数学知识活生生的应用,起 到了很好的教学效果。不仅是让他们学会了相关知识,而且引起了对数学课的兴趣。我也将这种教学模式继续扩展，进一步教学生不用量角器而只用三角板画五角 星,由此引入了三角函数。其他的教学内容,不论是几何还是代数,也都尽量从问题出发而不从定义出发重新加以组织，并且将其中关键内容写成顺口溜和诗歌的形 式。我将自己总结的内容编写成提纲，自己刻蜡纸油印出来发给学生作为补充教材。虽然我教的只是初中班学生,最终也不可能将他们的数学水平提得多么高。但 是，我的这种教学却培养了他们对数学的兴趣，对科学的热爱，培养了追求真理、奋发向上的人生观。在那个反常的年代，边远偏僻的地方，将一批知识基础很差的 学生做到培养到这样的程度,我自己觉得是一种无量的功德,也赢得了学生家长和学校领导的赞扬和支持。

35年后，2006年11月我重新回到大巴山访问,见到当时的一些学生。令我自豪的是：他们仍然保持着当年那种积极向上的精神,无论从事什么职业,无论地 位高低，都在用自己的辛勤劳动为国家和人民做贡献,没有人成为危害人民的罪人。2011年3月20日，中央电视台播出焦点访谈“学位制度三十年”，节目中 专门讲了我在大巴山奋斗的故事，还插入了当年我与学生们一起照的毕业照。不少学生看了节目之后立即给我发短信:“李老师,我们的毕业照上了焦点访谈了！”

我1970年到大巴山是23岁,1978年考上研究生离开是31岁,人生最美好最宝贵的8年青春都耗费在那里,永远不会再回来。如果时光可以倒转40年， 允许我穿越回去重新选择自己的命运，我肯定还是会选择当数学家而不是到大巴山去当教师。但是，时光不能倒转，历史不能选择，我只能在深山老林里当公社小学 教师的时候，我除了选择将学生教好，还能有别的更好的选择吗?

更何况,我在向山村小孩作出奉献的同时获得了丰厚的回报。1982年我在中国科技大学举行博士答辩时,答辩委员会的专家都是中国代数学界最顶尖级的权威。 我在大学期间的老师和领导相信我的学术水平一定能够通过博士答辩，但也担心我笨嘴拙舌性格内向表达不好。却发现我在答辩会上口似悬河对答如流。他们都感到 意外的惊喜。他们不知道，我在大巴山的八年修炼已经将多年来笨嘴拙舌不善言辞的弱项彻底脱胎换骨,变成了强项。从1982年到现在我在大学教书三十年,不 但深受本校师生欢迎，而且到全国180所高校做过讲演，形成独具特色的讲课风格，不仅是因为在大学受到了最顶尖级的数学家的教诲和熏陶使我可以顶天,也是 因为大巴山的锻炼使我可以立地。我建设国家精品课程的看家本领是用故事和案例来讲数学，起源于在大巴山画五角星的故事和案例。

四、追梦不弃

儿时做美梦,眼看有希望实现了却坠入深渊。这很象是小说中惯用的情节。但对我却是活生生的无情现实。现实与梦想完全相反，该怎么办？我至今还能全文背诵中 学语文学过的一篇文章，范仲淹的《岳阳楼记》。其中有一句话“居庙堂之高则忧其民，处江湖之远则忧其君。”教了我应当怎样选择自己的命运。范仲淹这句话很 象是现在计算机编程的“if…then…”语句。“庙堂”和“江湖”都是if中可能出现的已知条件，个人难以改变只能面对。Then则是自己的行动，必须 选择并且实施，不同的选择得出不同的结果。范仲淹崇尚的选择是“进亦忧退亦忧”“先天下之忧而优，后天下之乐而乐”。屈原的选择是宁肯投江也不“随其流而 扬其波”。文天祥的选择是“留取丹心照汗青”。他们都没有能够实现自己的梦想，但他们执着的选择却为几千年来一代又一代的中国人实现中国梦作出了宝贵的示 范，变成了千千万万中国人的实际行动，所产生的效果远比他们自己如果居庙堂之高所能做到要大得多。

虽然我的梦想是“跟着华罗庚当数学家”，但当梦想破灭，“处江湖之远”的时候，我怎么办？其实,大巴山不是江湖之远而是深山之远,既没有湖也没有江,只有 嘉陵江的一条小小的支流的支流，比“江湖之远”的自然条件还艰苦。然而，在先贤的示范下，在山区儿童的感召下，我的唯一选择只能是努力将山区的孩子教好， 没有别的选择。既不能选择跳楼,也不能选择调皮捣蛋消极怠工。

但是，儿时的梦在心里并没有完全破灭。毛主席说过文化大革命是“一年发动，二年胜利，三年扫尾”。实际的执行结果虽然未能做到三年扫尾,哪怕延长到十年二 十年三十年，总应当有扫尾的一天，重新开始对科学的进军。到那一天我也许有机会重新有所作为。公社小学是社会最低层,远非名牌大学那样的“近水楼台”，我 知道再当数学家恐怕很难,但总希望有所前进，哪怕从公社上升到区,上升到县城，也是梦寐以求。还有一个经常出现的梦境是回到家乡内江当一名中学教师。正在 与与父母兄弟团聚其乐融融的时候，梦醒了,回到现实生活中,窗外夜空的星斗被黑黝黝的山影遮蔽了一半。回味梦境,只有无限的惆怅，不由得写下“半天星斗半 天山,望断关山欲度难”这样的诗句。天长日久，只要梦境中一回到家乡,我就知道这又是在做梦。

我知道，我之所以到大巴山,是国家大形势下的必然,怨不得任何一个管分配的人。同理可证：只有国家大形势的变化才能救我,任何好心的个人都无能为力。林彪 坠毁之后，大形势出现了让人萌生希望的变化。招收大学生不只是靠工农兵推荐，也要做考试题。报纸上一则新闻报道了陈景润研究哥德巴赫猜想中取得突破性进 展，使我感到风向有所变化。内心深处那个已经破灭了的美梦又开始复苏。但我想到另一个问题：假如机会来临，国家突然需要科学人才,我够格吗？我在大学中只 念了一年的书,数学分析和线性代数都没有念完,最多只能算是一年级大学生，即使国家需要人才，也会首先选择比我们多读几年书的高年级大学生，轮不上我们这 些“准中学生”。更何况，如果国家真正选择了我,我能胜任吗?我们是平头百姓，不能影响国家的决策和选择，唯一能够改变的是自己的水平。我暗下决心要把被 文革耽误了的学习时间补回来。补什么? 数学分析与线性代数我还算学过,自认为还学得不错。就从后续部分开始补。我借回家途径重庆的机会,到书店找大学教材，复变函数和实变函数都找来看。一个偶 然的机会,在一所原来的大学的图书馆的书架上用抹布擦去厚厚的灰尘，发现一本由苏联数学大师维诺格拉多夫编著的《数论基础》，我知道陈景润研究的哥德巴赫 猜想是数论中的问题,不由得兴奋起来，假如我也研究哥德巴赫猜想或者费马大定理取得进展，不就可以成为数学家了吗? 我知道靠粗浅的中学知识不可能攻克世界难题，必须先学习必要的入门知识。因此对这本书如获至宝。我马上把这本书借出来,人家说反正也没人看这本书,你喜欢 就拿去吧，不用还。这本书就保存在我手上一直到现在。不过,1996年我主编的《数学建模竞赛教程》出版,亲自登门赠送了一本给这所大学，算是感恩图报 吧。

文化大革命中的形势瞬息万变。短暂的春风很快就被批判为修正主义回潮。已经进行的高考被批判为资本主义复辟，交白卷的张铁生被树立为英雄。我心里燃起的一 线希望再次破灭了。不过,我从这次“修正主义回潮”中还是得到一些好处。一是万源县文教局对于我在公社小学教书育人的成绩有所耳闻,派人调查后把我提拔到 县教师进修校当教师，实际上是成为了文教局的不在编工作人员。二是四川省在1974年暑假之前举办了一期高中数学教师培训班，我被选派作为学员参加了培训 班，又被本专区的小班推选向其他学员介绍微积分基础知识。培训班讲课的都是当时的西南师范学院的老师，（也就是后来的西南师范大学，现在的西南大学）。他 们对我讲的微积分大加赞赏，想把我调到西南师范学院当教师。虽然由于形式变化太快未能实现，但也足够使我对他们感恩戴德。

后来我知道，这次短暂的“修正主义回潮”是周恩来总理为了减少文化大革命造成的损失而煞费苦心采取的措施。很快就遭到四人帮的反攻倒算，不幸失败了。历史 还需要继续等待，中国还需要继续等待，我也只能继续等待。我虽然从公社小学连升两级成为县文教局的“直辖”教师,但由于形势变化,教师进修校已经不可能再 开展进修业务。我被文教局派到乡下参加农业学大寨的工作队。整天的任务是批判农民的资本主义,与农民同吃同住同劳动。对我来说，这比在公社小学教数学还艰 难。农民家没钱买灯油,只能在火边点松枝照明。但我还是在松枝的光线下啃完了《数论基础》。虽然我最终也不可能看了这本书就去攻克哥德巴赫猜想或费马大定 理，但却对我后来学习抽象代数奠定了有益的基础。

五、等待起跑

1976年10月,党中央粉碎了四人帮，领导国家重新走上正轨。1977年,邓小平重新工作,拨乱反正。1978年,我考上母校中国科技大学的研究生,回 到已坐落在合肥我从来没有见过的母校，见到那些熟悉而又陌生的老师和同学，当时的感觉恍如隔世。在校门口见到杨纪轲老师，他热情地向我打招呼，说:“很久 没看见你了,你到哪里去了?”这实在令我感慨万分。这么多年来,母校在文革中风雨飘摇，我在外面遭受风吹雨打，他见不到我才是正常的,见到我反而是奇迹。

1982年我成为我国自己培养的首批博士之一，经过媒体大力宣传,在全国引起了很大的反响。很多青年人给我写信,赞扬我太有远见了,在大巴山教公社小学的 时候就知道以后可以考研究生、可以授博士，因此早就在复习数学，果然考上了研究生,成为了博士。我回答说：我怎么可能那么早就知道以后要考研究生?中国从 古以来就没有授过博士，我怎么可能痴心妄想白日做梦成为博士？人家进一步问：既然不知道要考研究生,在大巴山为什么要学数学? 学了有什么用?其实,这样的问题不只他们问,我在大巴山工作时的同事和熟人早就问过了。他们不明白，我在名牌大学学了数学却只能到大巴山来教公社小学,以 前大学学了的东西都用不上,为什么还要花时间学更多的数学? 我当时的回答是:你们为什么要打扑克下象棋,不是也用不上吗？他们回答说打牌下棋好玩。我说学数学也好玩，所以要学。在当时的现实生活中我不能靠自己的奋 斗改变命运，在数学中却可以靠自己的智慧和勤奋努力取得成功，享受快乐。有一句歌词“谢谢你对我的爱,让我度过那年代”，我度过那年代则是靠对数学和学生 的爱。一直到现在，有的媒体采访我的时候还问一个问题：万一你在大巴山学了数学却不能出来，学了的东西都白学了,你后不后悔。我毫不犹豫地回答说:“不是 `万一’出不来，能够出来的可能性才是只有万分之一，出不来的可能性是万分之9999。但只要有万分之一就值得我努力。即使出不来，学了也不后悔，至少我 曾在学习过程中曾经享受过快乐。最值得后悔的事情是：国家重用我的机会来了,我却因为预先没有做好准备而白白丧失了机会。”

当然，也不能说自己坚持学数学完全是为了好玩。虽然我不知道会有机会考研究生、授博士,但我内心里始终相信国家总有一天会重视科学,确实在为这一天的到来 做准备。但是这些准备对于我参加研究生考试很难说有多少直接的帮助。直接的帮助几乎都是在没有准备之下“歪打正着”意外获得的。

我在大学只读了不到一年书就被迫结束了,这对于参加研究生考试是不利因素，至少与那些读了两年、三年、四年的大学生相比处于劣势。我没有学过专业课，所以 也无所谓专业,之所以报代数专业纯粹是奔着导师曾肯成去的。这不但因为曾肯成是华罗庚的得意学生,是众所周知的数学奇人,更因为在文革中我被迫批判他的时 候悄悄地做了他出的数学题，还将做出的答案向他请教。我猜想，对于一个教师,一个数学家,你送多少金银财宝不一定能得到他的喜欢，在他落难时心甘情愿当他 的粉丝向他请教数学题才是最能够得到他赏识的。

文化大革命一开始,我自己觉得对毛泽东思想学得不好,对文化大革命有很多困惑，就花了功夫将毛泽东思想选集通读了一遍,尤其是对其中的哲学著作反复领会。 虽然读了之后仍然不能消除困惑，但对政治形势的理解和预测能力却加强了，使我在文革当中少了很多盲目行动，少犯错误。在大巴山当农村工作队员的时候，经常 为公社书记起草报告,深得他的满意。没想到，这番功夫使我在考研究生时政治课得了87分。

我刚到公社小学报到当天晚上,就有几个知识青年登门拜访,希望我提供资料帮助他们学习英语。我没有多少资料能为他们提供。他们中却有人的父母是重庆的顶尖 的中学外语教师，为我提供了一些英文读物，主要是侦探小说。读了这些小说，远比死记硬背英文单词更能提高英文水平。这使我在后来的研究生考试之前完全不花 时间复习英文，考试反而得了91.25分。

我在1977年下半年报名考研究生的时候，只通知考政治外语两门公共课，数学分析线性代数这两门数学基础课，没有说考专业课。1978年元旦，收到在科大 的老同学的来信说要考专业课《抽象代数》，并且寄来一本教材，范德瓦尔登的《代数学》。我不但没有学过这门课，连这个课程的名称都没有听说过,却必须在短 短一个多月的时间之内学懂，参加原定2月份的考试。虽然后来实际考试时间推迟到5月份,在4个多月的时间内学好这一门课程仍然相当困难。然而我做到了,这 一方面是靠在大学第一年中培养的素养，另一方面得益于在大巴山的八年中始终在磨砺自己的数学思维。我打了比方，文化大革命将我们对与科学的向往摧残怠尽, 但我们却始终不甘放弃。就好比赛跑,不准跑的时候不能跑,跑了就是犯规。虽然不准跑,我们却蹲在起跑线上做好起跑姿势，发令枪一响就冲出去跑在前面。其他 选手或者蹲的方向反了,或者还没有到比赛现场。首批18博士就是在发令枪响之前蹲在起跑线上的人。

六、比梦更美好

我曾经写了一首诗来描述考上研究生之后的心情和行动:

闻鸡起舞夜枕戈,夺隘斩关鏖战多.十载迷途遗痛在,岂有容分秒再蹉跎。

当时的唯一想法就是要珍惜这来之不易的学习机会,能够走多远就要拼命向前,把被耽误了的十多年青春夺回来。学习基础课和专业课对我不是问题,当时可以说是 如饥似渴地拼命从一切书籍和会议中获取学术营养，把自己从下里巴人尽快转变成阳春白雪。然而，做论文却让我有些发怵：我的导师是华罗庚的优秀学生,他解决 不了的问题,我怎么能解决? 他能够解决的问题,又何必让我做?

学习了必要的入门知识之后，我开始读导师已经发表的文章，企图掌握他已经用过的方法来解决他没有解决的问题。导师做的是用子群格来刻画典型群，要证明一个 洋人的猜想，叫做Baer猜想。导师做完了线性群和辛群,发表了两篇论文，让我做酉群。我就来研究为什么他那两篇文章的方法不能解决酉群的问题。发现研究 酉群的主要困难在于,在酉空间中的非零向量按照与自己的内积为零和不为零分成两类：迷向向量和非迷向向量。线性群作用的空间没有内积，辛群作用的辛空间的 所有的非零向量都是迷向向量,非零向量只有一类没有两类,所以便于处理。我又注意到导师文章对于线性群需要讨论一维和n-1维两类子空间,而对辛群只讨论 一维不讨论n-1维。为什么辛群不讨论n-1维? 原来是因为与n-1维空间垂直的是一维空间,讨论了那个一维空间就可以全权代表这个n-1维空间。搞清楚这三个群的差别之后，我隐隐觉得它们之间的差别不 算大,不至于成为不可逾越的鸿沟,但又对酉空间中那些难缠的非迷向向量束手无策。实在想不出来，只有先睡觉，做好打持久战的准备。睡梦中还在迷迷糊糊纠缠 这个问题。一觉醒来，已是凌晨4点多钟,头脑里突然萌发一个简单的想法: 酉空间与辛空间同样有内积。既然辛空间中的n-1维子空间可以用与它垂直的1维子空间代表,酉空间中的一维子空间同样可以用与它垂直的n-1维子空间代 表。一维子空间可能是非迷向的不好处理,与它垂直的n-1维子空间比较大,不愁没有迷向线！问题不就解决了吗?

问题确实解决了。解决的思路很简单：将1维换成 n-1 维。阿基米德在浴缸里泡出浮力定律不也同样简单吗? 虽然n=3的情形下 n-1维空间仍然没有迷向向量,费了我不小的功夫专门设计了一个方法才得以解决,但总之是解决了。我漂漂亮亮地完成了导师给的任务,研究生毕业已经没有问题，可以高枕无忧了。

不过，我不能高枕无忧。我的梦想不是研究生毕业,而是当数学家。从1966年到1978年,我被耽误了12年，不是一篇论文、一个毕业证就能弥补的。我没 有时间享受胜利的喜悦，离胜利还远得很呢!虽然导师给的阶段性任务完成了,但是Baer猜想还没有证完。证了酉群,还有正交群,还有一般的有限单群。

一天晚上，我与另外两位师兄弟在睡觉之前关了灯还在聊天。师弟告诉我,北京大学段学复院士1979年暑期到美国参加一年一度的学术讨论会带回一篇学术报 告,介绍了典型群极大子群研究中提出的一系列尚未解决的公开问题。我听了很奇怪，问:“这样的问题也未解决吗？我马上可以解决!”我立即叙述了我的解决方 案。原来，我为了处理酉群n=3时的子群格时创造的一套方法,用来解决这些公开问题立即见效。当时并没有意识到这件事的重要性。聊了一会就各自睡着了。一 觉醒来，又是凌晨4点多,我突然想起昨天晚上给出的问题解答。我不太相信国际会议上提出的公开问题岂是我随便几句话就能解决的。昨晚睡觉之前的解答也可能 只是一场黄粱美梦。赶快爬起来在纸上重新做了一遍,确认正确无误。那时我们在合肥,导师在北京。我立即向导师写信报告做出的成果。过了两天,连续收到导师 写来的5封回信。信中说他已经向北京大学的丁石荪和中科学院的万哲先介绍了我做的工作，他们说: 如果做得没错,就不仅是研究生毕业水平,而是博士水平。当时已经在讨论在中国搞学位制度,授博士和硕士学位。具体操作方案还没有出来，他们就按照所了解的 国际标准认定我达到了博士水平，将博士帽第一次抛到我的头顶上空。我虽然按奈不住内心的狂喜,但自己经过太多的希望和失望，总觉得这件事情很玄，这突如其 来的美梦很可能又会一场空。从那一后的一年多的时间里,中国科大不断在作出努力让这个美梦变成现实,但始终没有得来明确的答复。我没有功夫去打听各种消 息,只是认定一条真理：将研究工作不断向前推进,将保险系数加得越大越好。不但将典型群的极大子群的猜想攻克了一大片。关于子群格的Baer猜想也用最新 的Building理论彻底解决了。为了读懂这个Building理论,我到当时位于北海旁边的国家图书馆攻读了三天，每天早出晚归，中午就在路边的小餐 馆随便吃碗面充饥。

1983年5月28日，我站在人民大会堂的主席台上，从当时的中国科学技术大学校长严济慈手中接过我的博士证书的时候，脑子一片空白。沸腾的场面，雄壮的 乐曲，都视而不见，听而不闻了。总觉得是在做梦,小心翼翼地不做任何动作，不产生任何想法,生怕一不小心打破了梦境，回到那“半天星斗半天山”的夜色中, 桌子上还摆着批判修正主义回潮的文件。

七、追梦到底

从小梦想当数学家,我的梦实现了吗？

虽然我作出了科研成果,受到过国际同行的好评，发表了论文,出版了专著，还得了中国科学院科技成果奖，虽然有很多人称我为数学家,甚至是“著名数学家”，但是从来没有一个权威机构发给我一个证书，授予我“数学家”的称号。所以，我很难说是已经圆了数学家之梦。

另一方面，虽然我在参加工作时唯一的要求是“不当教师”，但是我当上了教师。我有教师资格证书，教授职称证书，还有教育部颁发的国家级教学名师奖获奖者证书。我当了43年教师,听过我的课的很多人成为我的粉丝。我知道他们不是我的粉丝,而是数学的粉丝,科学的粉丝。

我愿意当教师。不但这一辈子当教师,还想再当50年甚至500年教师，为数学招收更多的粉丝。

人不能活500年，不能长生不老。但教书育人可以500年甚至几千年。办法就是写教材。中国的孔子、老子,外国的释迦牟尼，他们的教材已经教了两千年,还会继续教下去。

以圣人贤人为榜样，我最后的梦是希望将我教书的经验写成教材，让教材代替我一直教下去，长生不老。圣人贤人的教材可以教几千年。我是普通人,打折到百分之一吧，希望再教50年到100年，穿越时代,为数学培养更多的粉丝。

现在科学发达了,除了纸质教材，还有视频教材。所以，我现在抓紧做的事情就是写教材和录视频。教材已经出版了一些。录制的《数学大观》也作为教育部精品视频公开课上网,还由央视网做了中国公开课访谈节目《欧阳夏丹对话李尚志》进行宣传。

有人最担心的事情是人死了钱没有用完。我现在最担心的事是人死了书没写完。怎么办? 一是抓紧时间赶快写。二是天天锻炼身体，争取多写几年。

注：一家出版社策划一本书《100个中国人的中国梦》，向我约稿。以上就是我交给他们的文稿。

 

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