纵观浩瀚的数学史，数学发展的每一步都离不开创新。作为一名中学生，应当如何培养数学创新能力呢？
扎实的基础是创新的前提——先学“死”，再学“活”
数学作为一切自然科学之基础，其立足之基在于缜密的逻辑思维所保障的推理的可靠性。或
许，多年的数学应试教育已经把优秀的你带入了这样的一个状态：能解许多难题，能获不少数学
竞赛的奖项，却不甚清楚一些基本数学概念（比如“函数”、“轴对称”）的严格定义；能做出许
多漂亮乃至华丽的公式变形，却不知其背后的理论依据及适用范围——甚至，有时还会做出一些
没有理论依据的代数式变形。
如果的确如此，那么是时候亡羊补牢了：找到所有以前的教科书，仔细整理相关概念，着重
于概念的发生、发展和形成过程；整理所有学过的公式定理，尝试将这些公式定理推导一遍，并
不停地询问自己每个步骤中用到了什么公式定理，这些公式和定理又是如何推导的。
然后，将这样的学习方法贯穿到之后的数学学习中去。要将数学真正学“活”，第一步是把
它学“死”，死死推敲定义定理中的每一个字符和步骤，为之后的创新打下坚实的基础。在数学
学习的过程中，切忌一味追求灵活而丧失数学中最本质的元素——严密的逻辑。

浓郁的兴趣是创新的动力——有爱才会有成功
数学是一门博大精深的学科，多年的发展已将它从一棵小小的树苗灌溉成一棵参天大树，其中的每一个小树枝都布满了学问和乐趣。即使是当代最伟大的数学家，所知也不过是这棵大数的几根树枝。但是，一根树枝上一片小小的树叶，或许就可以将你引入这个神奇的数学世界。又或许，通过你的努力和创新，再让这个世界更为神奇。小学时我们学过一个章节叫做循环小数，有些分数可以化为循环小数。你是否想过？循环小数又该怎样化为分数？这两者是否统一？转换的理论依据是否充分？
中国当代伟大的数学家之一谷超豪先生在小学三年级时学到了循环小数，感到十分神奇，怎么会有一个数是无穷无尽的呢？一个蛋糕一切为三，简简单单的一个分数，为什么化成小数就写也写不完了？“你抓不住它，但却可以尽情想象。”此后，几个关于“无穷”的问题进一步激发了谷超豪对数学的兴趣，他从此投身数学研究并在偏微分方程、微分几何等多个数学领域取得了创造性的突破。

力学和微积分的交替发展是数学和其他自然科学的进步的一个很好的例子，它们常常如下循环：力学界提出一个问题?需要相应的数学工具?数学家完善了数学工具?力学问题解决?数学理论系统更上一层楼。在数学学习中，我们还应该更关注数学与其他学科的关联，比如高中课本中平面向量和力学的联系，函数零点和信息学算法的联系等。多年的数学学习中，撇开枯燥无味的练习，一定也曾经有一些数学知识和定理引起了你的兴趣。在其他学科的学习中，也一定有一些你感兴趣的问题最终被简化为一个数学模型。那么，你是否可以像谷先生一样，提一些问题，查一些资料，做一些研究呢？

质疑精神是创新必备——有尊重，更要敢于挑战
公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派集宗教、科学和哲学于一体，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数被看作两个整数之比。他们认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯却发现，边长为 l 的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死。这场危机最终通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决，成果被欧几里得所吸收，并收人《几何原本》。这就是第一次数学危机。数学史上的三次最大的飞跃也被认为是三次数学危机的解决，这三次危机的解决都离不开对权威的挑战。我们要能在数学中有所创新，就要做好挑战权威的准备。而挑战权威，应当从质疑精神开始。比如：教材中对数列极限的定义为“无限接近”。那么，这个定义是严格的数学表述吗？什么叫“无限”？“接近”又是什么意思？教材为什么要这么写呢？能否给出更确切的描述？
坚韧意志是创新必备品质——成功在被质疑后
一个学科发展的高度决定了其创新的难度，相比其他学科，数学的创新也许是最难的。然而，困难并不意味着不可能，更不意味着没有意义，只意味着我们需要更灵活的思维，更沉得住气，更耐得住寂寞。高中数学第一章是“集合”，而集合论的奠基者康托甚至因为他创新的想法被攻击为精神病，最终死于精神病院；近世代数的奠基者伽罗瓦、挪威全才数学家阿贝尔两人都英年早逝，至死未获学术界承认。就在几个月前，上海某著名高校数学系的一个学者也因自己的学术成就一直未得到理想的评价而走向妄想型的精神分裂。敢于创新，就要做好接受挑战和质疑的准备。一般而言，数学中的创新越成功，被认知所需要的时间也可能越长。坚韧意志的培养需要内在驱动。外环境是数学创新的外在动力，内环境才是数学创新的根本动力。而最有效的内在动力应是对国家、对社会、对人类的关怀。不妨试着了解一些伟大科学家的事例，如果可以像谷超豪先生一样“情愿肩负历史的责任”，那么成功离你就会更近一些。
（作者系复旦大学附属中学数学教师）